Duration und Konvexität: Zinsempfindlichkeit messen
Berechnen Sie Macaulay- und modifizierte Duration, verfeinern Sie die Schätzung mit der Konvexität und beziffern Sie das Zinsänderungsrisiko in Euro.
Was Sie lernen werden
- Was Macaulay-Duration und modifizierte Duration messen und wie Sie sie berechnen.
- Wie Sie aus der Duration eine Euro-Schätzung des Kursrisikos ableiten, einschließlich DV01.
- Warum die Konvexität die einfache Duration-Schätzung leicht verfälscht und wie Sie sie korrigieren.
- Welche Anleihemerkmale die Zinsempfindlichkeit erhöhen oder verringern.
Erklärung
Der Kurs „ETFs, Fonds & langfristiges Investieren“ (Lektion „Anleihen-ETFs und Geldmarktfonds: Zins- und Kreditrisiko“) hat das Zinsänderungsrisiko eingeführt. Diese Lektion gibt Ihnen die Werkzeuge, um es zu messen.
Macaulay-Duration
Die Macaulay-Duration ist die gewichtete durchschnittliche Zeit in Jahren, bis Sie die Zahlungen einer Anleihe erhalten. Jedes Jahr wird mit dem Anteil am Kurs gewichtet, der auf die Zahlung dieses Jahres entfällt (ihr Barwert geteilt durch den Kurs):
Macaulay duration = Σ [ t × PV(CF(t)) ] ÷ Price
Eine Nullkuponanleihe (eine Anleihe ohne Kupons, die nur den Nennwert bei Fälligkeit zahlt) hat eine Macaulay-Duration, die ihrer Laufzeit entspricht. Jede Kuponanleihe hat eine kürzere Duration als Laufzeit, weil ein Teil des Geldes früher fließt.
Modifizierte Duration und DV01
Die modifizierte Duration wandelt dieses Zeitmaß in eine Kursempfindlichkeit um:
Modified duration = Macaulay duration ÷ (1 + y) (bei jährlichen Kupons)
Sie gibt die ungefähre prozentuale Kursänderung bei einer Renditeänderung um 1 Prozentpunkt an:
%ΔPrice ≈ − Modified duration × Δy
Händler verwenden außerdem den DV01 („Dollar Value of One Basis Point“, Dollarwert eines Basispunkts; an Euro-Märkten heißt dieselbe Idee PVBP, Price Value of a Basis Point). Ein Basispunkt (bp) entspricht 0.01 Prozentpunkten. DV01 = modifizierte Duration × Kurs × 0.0001.
Konvexität
Der tatsächliche Zusammenhang zwischen Kurs und Rendite ist eine Kurve, keine Gerade. Die Konvexität misst diese Krümmung. Bei normalen (nicht kündbaren) Anleihen ist sie positiv: Die Kurse steigen bei fallenden Renditen etwas stärker, als sie bei einem gleich großen Renditeanstieg fallen. Die verbesserte Schätzung lautet:
%ΔPrice ≈ − D_mod × Δy + ½ × Convexity × (Δy)²
Bei kleinen Renditeänderungen ist der Konvexitätsterm winzig; bei großen Bewegungen fällt er ins Gewicht.
Faustregeln
- Längere Laufzeit → höhere Duration.
- Niedrigerer Kupon → höhere Duration (mehr vom Wert fließt am Ende).
- Niedrigeres Renditeniveau → höhere Duration.
- Portfolio-Duration ≈ wertgewichteter Durchschnitt der einzelnen Durationen.
- Kündbare Anleihen (die der Emittent vorzeitig zurückzahlen darf) können eine negative Konvexität haben: Ihr Kurspotenzial bei fallenden Renditen ist begrenzt.
Rechenbeispiel
Hypothetisches Beispiel: die 5-jährige Anleihe mit 3% jährlichem Kupon aus Lektion 1, Nennwert €1,000, Kurs €955.48 bei einer Rendite von 4%. Gebühren, Spreads und Steuern sind nicht berücksichtigt.
| Jahr t | Zahlung | Barwert | Gewicht (Barwert ÷ Kurs) | t × Gewicht |
|---|---|---|---|---|
| 1 | €30 | €28.85 | 0.0302 | 0.0302 |
| 2 | €30 | €27.74 | 0.0290 | 0.0581 |
| 3 | €30 | €26.67 | 0.0279 | 0.0837 |
| 4 | €30 | €25.64 | 0.0268 | 0.1074 |
| 5 | €1,030 | €846.58 | 0.8860 | 4.4301 |
| Macaulay-Duration | 4.71 Jahre |
- Modifizierte Duration = 4.71 ÷ 1.04 = 4.53.
- DV01 = 4.53 × €955.48 × 0.0001 ≈ €0.43 je €1,000 Nennwert und Basispunkt.
- Konvexität (aus denselben Zahlungen berechnet) ≈ 25.6.
Nun sollen die Renditen um +1 Prozentpunkt springen (Δy = 0.01) bzw. um −1 Punkt fallen.
| Renditeänderung | Nur Duration | Duration + Konvexität | Exakte Neubewertung |
|---|---|---|---|
| +1 Punkt (auf 5%) | −4.53% | −4.53% + 0.13% = −4.40% | €913.41 (−4.40%) |
| −1 Punkt (auf 3%) | +4.53% | +4.53% + 0.13% = +4.66% | €1,000.00 (+4.66%) |
Der Konvexitätsterm beträgt ½ × 25.6 × 0.0001 = 0.13%. Damit trifft die Schätzung den exakten Kurs fast perfekt. Beachten Sie die Asymmetrie: Der Gewinn (+€44.52) ist größer als der Verlust (−€42.07).
Häufiger Fehler
Übung
Auf Papier: Sie halten ein hypothetisches Portfolio mit €6,000 in einem Rentenfonds mit modifizierter Duration 2.0 und €4,000 in einer langen Anleihe mit modifizierter Duration 8.0. (a) Wie hoch ist die Portfolio-Duration? (b) Schätzen Sie die Wertänderung in Euro, wenn alle Renditen um 0.5 Prozentpunkte steigen. (c) Wie hoch ist die modifizierte Duration einer 10-jährigen Nullkuponanleihe mit 3% Rendite?
Lösung anzeigen
(a) (6,000 × 2.0 + 4,000 × 8.0) ÷ 10,000 = (12,000 + 32,000) ÷ 10,000 = 4.4.
(b) −4.4 × 0.005 = −2.2% von €10,000 ≈ −€220 (die Konvexität würde den Verlust etwas verringern).
(c) Macaulay-Duration = 10 Jahre; modifizierte Duration = 10 ÷ 1.03 ≈ 9.71. Ein Renditeanstieg um 1 Punkt kostet etwa 9.7%.
Einschränkungen: Dies setzt eine Parallelverschiebung voraus (alle Renditen bewegen sich um denselben Betrag). In der Realität bewegen sich kurze und lange Renditen oft unterschiedlich, und auch Kreditspreads können sich ändern.
Das Wichtigste in Kürze
- Modifizierte Duration ≈ prozentuale Kursänderung bei 1 Punkt Renditeänderung; multiplizieren Sie sie mit Ihrer Position, um Euro zu erhalten.
- Der DV01 gibt die Euro-Änderung je Basispunkt an und eignet sich zum Vergleich von Positionen.
- Die Konvexität verbessert die Schätzung und macht Gewinne bei gleich großen Renditebewegungen größer als Verluste.
- Lange Laufzeiten, niedrige Kupons und niedrige Renditen bedeuten ein höheres Zinsänderungsrisiko.
Nächster Schritt
In der nächsten Lektion sehen Sie, wie sich Renditen über die Laufzeiten unterscheiden und was die Form der Zinsstrukturkurve verraten kann und was nicht.
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