Duration et convexité : mesurer la sensibilité aux taux d'intérêt

Ce que vous allez apprendre

• Ce que mesurent la duration de Macaulay et la duration modifiée, et comment les calculer.
• Comment transformer la duration en une estimation du risque de prix en euros, y compris la DV01.
• Pourquoi la convexité rend l'estimation simple par la duration légèrement inexacte, et comment la corriger.
• Quelles caractéristiques d'une obligation augmentent ou réduisent sa sensibilité aux taux.

Explication

Le cours « ETF, fonds et investissement à long terme » (leçon « ETF obligataires et fonds monétaires : risque de taux et risque de crédit ») a présenté le risque de taux. Cette leçon vous donne les outils pour le mesurer.

Duration de Macaulay

La duration de Macaulay est la durée moyenne pondérée, en années, jusqu'à la perception des flux d'une obligation. Chaque année est pondérée par la part du prix de l'obligation qui provient du flux de cette année (sa valeur actuelle divisée par le prix) :

Macaulay duration = Σ [ t × PV(CF(t)) ] ÷ Price

Une obligation zéro-coupon (une obligation sans coupon, qui ne verse que la valeur nominale à l'échéance) a une duration de Macaulay égale à sa maturité. Toute obligation à coupon a une duration inférieure à sa maturité, car une partie de l'argent arrive plus tôt.

Duration modifiée et DV01

La duration modifiée convertit cette mesure de temps en sensibilité du prix :

Modified duration = Macaulay duration ÷ (1 + y) (pour des coupons annuels)

Elle indique la variation approximative du prix, en pourcentage, pour une variation de rendement de 1 point de pourcentage :

%ΔPrice ≈ − Modified duration × Δy

Les traders utilisent aussi la DV01 (dollar value of one basis point, valeur en dollars d'un point de base ; sur les marchés en euros, la même idée s'appelle PVBP, price value of a basis point). Un point de base (pb) vaut 0.01 point de pourcentage. DV01 = duration modifiée × prix × 0.0001.

Convexité

La relation réelle entre prix et rendement est une courbe, pas une droite. La convexité mesure cette courbure. Pour les obligations ordinaires (non remboursables par anticipation), elle est positive, ce qui signifie que les prix montent un peu plus quand les rendements baissent qu'ils ne baissent quand les rendements montent du même montant. L'estimation améliorée est :

%ΔPrice ≈ − D_mod × Δy + ½ × Convexity × (Δy)²

Pour de petites variations de rendement, le terme de convexité est minime ; pour de grands mouvements, il compte.

Règles empiriques

• Maturité plus longue → duration plus élevée.
• Coupon plus faible → duration plus élevée (une plus grande part de la valeur arrive à la fin).
• Niveau de rendement plus bas → duration plus élevée.
• Duration d'un portefeuille ≈ moyenne des durations individuelles pondérée par la valeur.
• Les obligations remboursables par anticipation (callable, que l'émetteur peut rembourser plus tôt) peuvent avoir une convexité négative : leur potentiel de hausse est plafonné quand les rendements baissent.

Exemple chiffré

Exemple hypothétique : l'obligation à 5 ans et coupon annuel de 3% de la leçon 1, nominal €1,000, cotée €955.48 pour un rendement de 4%. Frais, écarts de cotation et impôts sont exclus.

• Duration modifiée = 4.71 ÷ 1.04 = 4.53.
• DV01 = 4.53 × €955.48 × 0.0001 ≈ €0.43 par €1,000 de nominal et par point de base.
• Convexité (calculée à partir des mêmes flux) ≈ 25.6.

Faisons maintenant bondir les rendements de +1 point de pourcentage (Δy = 0.01), puis baisser de −1 point.

Le terme de convexité vaut ½ × 25.6 × 0.0001 = 0.13%. Avec lui, l'estimation correspond presque parfaitement au prix exact. Notez l'asymétrie : le gain (+€44.52) est supérieur à la perte (−€42.07).

Erreur fréquente

Activité pratique

Sur papier : vous détenez un portefeuille hypothétique de €6,000 dans un fonds obligataire de duration modifiée 2.0 et de €4,000 dans une obligation longue de duration modifiée 8.0. (a) Quelle est la duration du portefeuille ? (b) Estimez la variation en euros si tous les rendements montent de 0.5 point de pourcentage. (c) Quelle est la duration modifiée d'une obligation zéro-coupon à 10 ans rapportant 3% ?

Points clés

• Duration modifiée ≈ variation du prix en pourcentage pour une variation de rendement de 1 point ; multipliez par votre position pour obtenir des euros.
• La DV01 donne la variation en euros par point de base et sert à comparer des positions.
• La convexité améliore l'estimation et rend les gains supérieurs aux pertes pour des variations de rendement égales.
• Maturités longues, coupons faibles et rendements bas signifient un risque de taux plus élevé.

Étape suivante

Dans la prochaine leçon, vous verrez comment les rendements diffèrent selon les maturités et ce que la forme de la courbe des taux peut, ou ne peut pas, vous dire.