Coupon, prix et rendement à l'échéance en profondeur

Ce que vous allez apprendre

• Comment le prix d'une obligation se calcule comme la valeur actuelle de ses flux futurs.
• La différence entre taux du coupon, rendement courant et rendement à l'échéance (YTM, yield to maturity).
• Pourquoi les obligations se négocient au-dessus ou en dessous du pair, et ce que signifie le « retour au pair » (pull to par).
• Comment estimer un rendement à l'échéance à la main et le vérifier.

Explication

La relation inverse entre prix et rendements des obligations a été présentée dans le cours « Marchés et macro : forex, taux et dollar » (leçon « Obligations et rendements expliqués simplement »). Ici, nous allons un niveau plus loin et la calculons.

Une obligation est un prêt que vous accordez à un émetteur. L'émetteur promet des paiements fixes : un coupon (l'intérêt annuel, exprimé en pourcentage de la valeur nominale) et la valeur nominale (aussi appelée pair ou valeur faciale, le montant remboursé à l'échéance, la date de remboursement final). Les emprunts fédéraux allemands et la plupart des obligations en euros versent le coupon une fois par an ; les Treasury notes et bonds américains versent la moitié du coupon tous les six mois.

Les prix sont cotés en pourcentage de la valeur nominale. Un prix de 96.50 signifie €965 pour chaque €1,000 de valeur nominale.

La formule du prix

Le prix juste est la somme de tous les flux futurs, chacun actualisé au rendement de marché y :

Price = C/(1+y) + C/(1+y)^2 + … + (C+F)/(1+y)^n

Ici, C est le coupon en euros, F la valeur nominale et n le nombre d'années. Actualiser signifie diviser par (1+y) une fois pour chaque année d'attente, car l'argent reçu plus tard vaut moins aujourd'hui.

Trois « rendements » différents

• Taux du coupon : fixé à l'émission. Il ne change jamais et ne dit rien du rendement actuel.
• Rendement courant : coupon ÷ prix. Il ignore le gain ou la perte à l'échéance.
• Rendement à l'échéance (YTM) : le taux d'actualisation unique qui rend la formule ci-dessus égale au prix de marché. C'est le rendement annuel que vous obtenez si vous achetez maintenant, conservez jusqu'à l'échéance, si l'émetteur paie tout à temps et si chaque coupon est réinvesti au même YTM.

Cette dernière condition, l'hypothèse de réinvestissement, est souvent oubliée. Si les taux baissent, les coupons sont réinvestis à des taux plus bas et le rendement réalisé finit légèrement en dessous du YTM.

Prime, décote et retour au pair

• Taux du coupon inférieur au rendement de marché → prix inférieur à 100 (obligation sous le pair).
• Taux du coupon supérieur au rendement de marché → prix supérieur à 100 (obligation au-dessus du pair).
• Taux du coupon égal au rendement de marché → prix à 100 (pair).

Comme l'émetteur rembourse exactement 100 à l'échéance, le prix se rapproche de 100 à mesure que l'échéance approche, même si les rendements ne changent pas. C'est ce qu'on appelle le retour au pair.

Les prix en bourse sont généralement des prix pieds de coupon (clean prices, sans intérêts courus). Les intérêts accumulés depuis le dernier coupon s'ajoutent lors de l'achat ; la leçon 8 traite ce point en détail.

Exemple chiffré

Exemple hypothétique : une obligation à 5 ans, valeur nominale €1,000, coupon 3% (€30 par an, versé annuellement). Le rendement de marché d'obligations similaires est de 4%. Nous supposons que l'achat a lieu à une date de coupon (pas d'intérêts courus) et ignorons frais, écarts de cotation et impôts.

Rendement courant = €30 ÷ €955.48 = 3.14%. Le YTM est de 4%, supérieur au rendement courant, car l'acheteur gagne aussi €44.52 lorsque l'obligation est remboursée à €1,000.

Retour au pair : si le rendement de marché est toujours de 4% un an plus tard, la même obligation (il reste désormais 4 ans) vaut €963.70. Le prix a augmenté de €8.22 sans aucune variation des rendements.

Estimer un YTM. Une deuxième obligation : 4 ans restants, coupon 2.5% (€25), prix €965. Une approximation courante est :

YTM ≈ (C + (F − P)/n) ÷ ((F + P)/2)

= (€25 + €35/4) ÷ €982.50 = €33.75 ÷ €982.50 ≈ 3.44%. Résoudre la formule complète par tâtonnement (ou avec une fonction de tableur comme TAUX/RATE ou YIELD) donne 3.45%. Le raccourci est proche pour les petites décotes et les échéances courtes, mais devient moins précis pour les obligations longues ou à forte décote.

Erreur fréquente

Activité pratique

Sur papier : (a) Calculez le prix d'une obligation hypothétique à 3 ans, nominal €1,000, coupon annuel 2%, rendement de marché 3%. (b) Estimez le YTM d'une obligation hypothétique à 4 ans, coupon 5%, prix €1,040, avec la formule d'approximation. Ignorez frais et impôts.

Points clés

• Le prix d'une obligation est la valeur actuelle de ses coupons et de sa valeur nominale, actualisés au rendement de marché.
• Comparez les obligations par leur rendement à l'échéance, pas par leur coupon ni leur rendement courant.
• À l'approche de l'échéance, les obligations sous le pair remontent vers le pair et celles au-dessus du pair redescendent vers le pair.
• Le YTM n'est tenu que si l'émetteur paie, si vous conservez jusqu'à l'échéance et si les coupons sont réinvestis au même taux.

Étape suivante

Dans la prochaine leçon, vous mesurerez la force avec laquelle le prix d'une obligation réagit aux variations de rendement, à l'aide de la duration et de la convexité.