Les rendements en code : rendements simples ou logarithmiques, rendements cumulés, rendement et volatilité annualisés, et fenêtres glissantes

Ce que vous allez apprendre

• Comment calculer des rendements simples et logarithmiques à partir d'une série de clôtures, et quand chacun est l'outil adapté.
• Pourquoi les rendements simples doivent être composés par un produit alors que les rendements logarithmiques s'additionnent simplement.
• Comment annualiser un rendement moyen journalier et un écart-type journalier, et ce que suppose la règle de la racine carrée du temps.
• Comment les fenêtres glissantes produisent des statistiques variables dans le temps, comme la volatilité sur 20 jours, et pourquoi les premières lignes sont vides.

Explication

Un rendement simple est la variation du prix en pourcentage, rt = (Pt − Pt−1) ÷ Pt−1, soit dans pandas r = df["close"].pct_change(). Un rendement logarithmique est le logarithme népérien du rapport des prix, ℓt = ln(Pt ÷ Pt−1), soit en code np.log(df["close"]).diff(). Tous deux commencent par un NaN. Pour de petits mouvements, les deux sont presque identiques ; pour de grands mouvements, ils divergent (un rendement simple de −50% correspond à un rendement logarithmique de −69.3%).

Composition. Sur plusieurs périodes, les rendements simples se multiplient : total = (1 + r1)(1 + r2)…(1 + rn) − 1. Les rendements logarithmiques s'additionnent : rendement logarithmique total = ℓ1 + ℓ2 + … + ℓn, et la reconversion donne le rendement simple total = exp(somme) − 1. Additionner des rendements simples est faux, et l'erreur croît avec la volatilité : +10% suivi de −10% donne une somme de 0% mais laisse en réalité −1%. Une série de rendements cumulés s'écrit (1 + r).cumprod() − 1 ; une courbe de capital partant de €10,000 s'écrit 10_000 * (1 + r).cumprod() ; avec des rendements logarithmiques, np.exp(lr.cumsum()).

Lequel utiliser, et quand. Les rendements logarithmiques pour agréger dans le temps et pour les statistiques ; les rendements simples dès que de l'argent change de mains ou que des actifs sont combinés, car le rendement d'un portefeuille est une somme pondérée de rendements simples. Pour communiquer avec des personnes, utilisez des pourcentages simples.

Annualiser. Par convention, on retient 252 jours de bourse par an pour les actions (le nombre réel varie légèrement selon la place boursière et l'année ; indiquez la convention que vous utilisez). Le rendement journalier moyen × 252 est le rendement annualisé arithmétique, et le CAGR (compound annual growth rate, taux de croissance annuel composé, défini dans le cours Trading systématique) vaut (final ÷ initial)1 ÷ années − 1 ; c'est lui que vous devez indiquer pour un backtest. La volatilité est l'écart-type des rendements ; elle évolue avec la racine carrée du temps, donc volatilité annuelle ≈ écart-type journalier × √252 ≈ journalier × 15.87. Pour des données mensuelles, utilisez 12 et √12 ; pour des données hebdomadaires, 52 et √52. La règle de la racine carrée suppose des rendements indépendants, ce que les séries en tendance ne respectent pas ; considérez-la comme une convention.

Fenêtres glissantes. r.rolling(20).std() * np.sqrt(252) donne la volatilité annualisée des 20 derniers jours, recalculée à chaque ligne. Les 19 premières lignes valent NaN car la fenêtre n'est pas pleine (min_periods permet d'assouplir cette règle). expanding() utilise toutes les données jusqu'à chaque ligne (le maximum courant du capital pour le drawdown de la leçon 9). Les deux ne regardent que vers le passé et sont donc, par construction, exempts de biais d'anticipation.

Exemple commenté

Exemple hypothétique : quatre clôtures d'une action, €100.00, €105.00, €100.80, €105.84 ; ni coûts, ni dividendes, ni impôts.

Rendements simples : (105 − 100) ÷ 100 = +5.00% ; (100.80 − 105) ÷ 105 = −4.00% ; (105.84 − 100.80) ÷ 100.80 = +5.00%.

Rendements logarithmiques : ln(1.05) = 0.04879 ; ln(0.96) = −0.04082 ; ln(1.05) = 0.04879. Somme = 0.05676. exp(0.05676) − 1 = 0.0584, soit +5.84%.

Vérification : 1.05 × 0.96 × 1.05 = 1.0584 → +5.84%, et 105.84 ÷ 100 − 1 = 5.84%. Additionner les rendements simples donnerait 6.00%, une surestimation de 0.16 point en trois jours : €10,000 deviennent €10,584, et non €10,600.

Code : r = c.pct_change(); total = (1 + r.dropna()).prod() - 1 renvoie 0.0584. r.rolling(3).mean() place (0.05 − 0.04 + 0.05) ÷ 3 = 2.00% sur la dernière ligne et NaN avant.

Annualisation sur un échantillon hypothétique plus long : si les rendements journaliers ont une moyenne de 0.04% et un écart-type de 1.2%, le rendement annualisé arithmétique est de 0.0004 × 252 = 10.08% et la volatilité annualisée de 0.012 × 15.87 = 19.05%.

Erreur fréquente

Exercice pratique

Sur papier : clôtures de €50.00, €48.00, €50.40, €49.392 (hypothétique). (a) Calculez les trois rendements simples. (b) Calculez les trois rendements logarithmiques en utilisant ln(0.96) = −0.04082, ln(1.05) = 0.04879 et ln(0.98) = −0.02020. (c) Donnez le rendement total par composition et par somme des logarithmes, et comparez avec la somme naïve des rendements simples. (d) Si une autre série affiche un écart-type journalier de 1.5%, indiquez sa volatilité annualisée sur la base de 252 jours, et expliquez pourquoi multiplier par 252 serait faux.

Points clés à retenir

• pct_change() donne des rendements simples, np.log(c).diff() des rendements logarithmiques ; tous deux laissent un NaN en première ligne.
• Composez les rendements simples par un produit ; additionnez les rendements logarithmiques et prenez l'exponentielle ; n'additionnez jamais des rendements simples.
• Annualisez les moyennes par × 252 et les écarts-types par × √252, indiquez la convention, et présentez le CAGR pour les backtests.
• Les fenêtres glissantes et cumulatives ne regardent que vers le passé, produisent des NaN tant qu'elles ne sont pas pleines et utilisent par défaut l'écart-type d'échantillon.

Étape suivante

La leçon 6 code les indicateurs standard sous forme de fonctions vectorisées, SMA, EMA, RSI, ATR et bandes de Bollinger, et montre comment les vérifier par rapport à une plateforme graphique.