Les mathématiques de la réussite : risque par trade, nombre de trades nécessaires, probabilité de réussite et coût attendu des tentatives

Ce que vous allez apprendre

• Comment estimer, à partir de votre espérance et de votre risque par trade, le nombre de trades que prendra une évaluation.
• Une formule de poche pour la probabilité d'atteindre l'objectif avant la limite de perte.
• Pourquoi un risque par trade plus faible aide un trader qui dispose d'un avantage statistique et ne change rien pour un trader qui n'en a pas.
• Comment transformer la probabilité de réussite en coût total attendu des tentatives.

Explication

Les multiples de R, le taux de réussite et l'espérance ont été traités dans le cours « Gestion du risque et des trades ». Ici, nous les appliquons à une question précise : quelle est la probabilité d'atteindre un objectif de profit T avant d'atteindre une limite de perte L si chaque trade risque r pour cent du compte ?

Étape 1 : nombre de trades nécessaires

Si votre espérance est de E en multiples de R par trade (par exemple 0.04 R), le gain attendu par trade est de r × E pour cent du compte. Le nombre de trades nécessaires pour atteindre l'objectif est d'environ T / (r × E). Avec T = 8 pour cent, r = 1 pour cent et E = 0.04 R : 8 / (1 × 0.04) = 200 trades. Diviser r par deux double le nombre de trades, qui passe à 400. C'est le premier arbitrage : un risque plus faible signifie plus de trades, plus de temps et plus de commissions.

Étape 2 : la formule de poche de réussite

Modélisez chaque trade comme un pas de +1 R avec une probabilité p et de −1 R avec une probabilité q = 1 − p (un système avec un rapport gain/risque de 1:1 ; d'autres rapports peuvent être convertis approximativement en utilisant le taux de réussite d'un système 1:1 équivalent). Soit a = T / r le nombre de pas gagnants nécessaires et b = L / r le nombre de pas perdants qui mettent fin à la tentative. Le résultat classique de la ruine du joueur donne la probabilité d'atteindre +a avant −b :

P = (1 − (q/p)^b) / (1 − (q/p)^(a+b)) pour p ≠ 0.5, et P = b / (a + b) pour p = 0.5.

Le cas sans avantage statistique est le plus instructif : avec T = 8 pour cent et L = 10 pour cent, un trader qui joue à pile ou face réussit la phase 1 avec une probabilité de 10 / 18 = 55.6 pour cent, quel que soit son risque par trade. Une phase 2 à 5 pour cent avec la même limite de 10 pour cent donne 10 / 15 = 66.7 pour cent. Les deux phases : 0.556 × 0.667 = 37 pour cent ; dans ce modèle simplifié, environ un trader sans avantage sur trois réussit donc par hasard. C'est pourquoi « j'ai réussi » ne prouve pas grand-chose, et c'est pourquoi la leçon 7 s'intéresse au biais du survivant.

Étape 3 : nombre attendu de tentatives et coût

Si chaque tentative réussit avec une probabilité P, le nombre attendu de tentatives est de 1 / P et le coût attendu en frais de frais / P, sans tenir compte des réductions, des nouvelles tentatives gratuites et du temps que vous y consacrez.

Exemple chiffré

Exemple hypothétique : frais de €500, objectif de la phase 1 de 8 pour cent, objectif de la phase 2 de 5 pour cent, perte maximale statique de 10 pour cent dans chaque phase, rapport gain/risque de 1:1, pas de limite de perte journalière, pas de coûts. Nous comparons trois traders selon leur taux de réussite et deux niveaux de risque. Tous les chiffres sont arrondis.

Calcul pour p = 0.52, r = 1 pour cent, phase 1 : q/p = 0.48 / 0.52 = 0.923 ; a = 8, b = 10. P = (1 − 0.923^10) / (1 − 0.923^18) = (1 − 0.449) / (1 − 0.237) = 0.551 / 0.763 = 72.2 pour cent.

Le tableau se lit en trois lignes. Sans avantage, le risque par trade ne change rien ; c'est la chance qui décide. Avec un avantage positif, un risque plus faible augmente la probabilité de réussite, car davantage de trades laissent l'avantage s'exprimer, au prix de plus de trades et de plus de temps (pour p = 0.52, E = 0.04 R : 200 trades à 1 pour cent, 400 à 0.5 pour cent). Avec un avantage négatif, un risque plus faible rend l'échec plus certain, et le coût attendu explose. L'évaluation teste si votre avantage survit à un grand nombre de trades, et le risque par trade ne fixe que la durée du test.

Les évaluations réelles sont plus sévères que ce modèle : une limite de perte journalière interrompt les séries, les spreads et commissions réduisent le taux de réussite effectif, et les règles de régularité ajoutent des trades. Considérez le modèle comme une borne supérieure de votre probabilité de réussite.

Erreur fréquente

Exercice pratique

Sur papier : frais de €300, évaluation en une phase avec un objectif de 10 pour cent et une perte maximale statique de 8 pour cent. Le trader X a p = 0.50 ; le trader Y a p = 0.55 (système 1:1). Tous deux risquent 1 pour cent par trade. Calculez pour chacun la probabilité de réussite, le nombre attendu de tentatives et le coût attendu en frais. Utilisez 0.45 / 0.55 = 0.818, 0.818^8 = 0.200 et 0.818^18 = 0.027.

Points clés

• Trades nécessaires ≈ objectif / (risque par trade × espérance) ; un risque plus faible signifie plus de trades.
• La formule de la ruine du joueur donne rapidement une borne supérieure de votre probabilité de réussite.
• Sans avantage, le risque par trade ne change pas les probabilités ; avec un avantage, un risque plus faible aide.
• Coût attendu des tentatives = frais / probabilité de réussite ; calculez-le avant d'acheter.

Étape suivante

Réussir n'est qu'un début ; la leçon suivante compare ce que vous recevez réellement ensuite : partages des profits, règles du premier versement, coussins, plafonds, remboursements et plans de croissance (scaling plans).