رياضيات النجاح: المخاطرة لكل صفقة، وعدد الصفقات المطلوبة، واحتمال النجاح، والتكلفة المتوقعة للمحاولات

ما الذي ستتعلمه

• كيف تقدّر عدد الصفقات التي سيستغرقها التقييم انطلاقاً من توقعك الرياضي (expectancy) ومخاطرتك لكل صفقة.
• صيغة جيب سريعة لاحتمال بلوغ الهدف قبل حد الخسارة.
• لماذا تساعد المخاطرة الأصغر لكل صفقة المتداولَ الذي يملك أفضلية، ولا تفيد بشيء المتداولَ الذي لا يملكها.
• كيف تحوّل احتمال النجاح إلى تكلفة إجمالية متوقعة للمحاولات.

الشرح

تناولنا مضاعفات R ونسبة الفوز والتوقع الرياضي في دورة "إدارة المخاطر والصفقات". وهنا نطبّقها على سؤال محدد: ما فرصة بلوغ هدف ربح T قبل بلوغ حد خسارة L إذا كانت كل صفقة تخاطر بنسبة r بالمئة من الحساب؟

الخطوة 1: الصفقات المطلوبة

إذا كان توقعك الرياضي E بمضاعفات R لكل صفقة (مثلاً 0.04 R)، فإن الربح المتوقع لكل صفقة هو r × E بالمئة من الحساب. وعدد الصفقات اللازمة لبلوغ الهدف هو تقريباً T / (r × E). مع T = 8 بالمئة وr = 1 بالمئة وE = 0.04 R: 8 / (1 × 0.04) = 200 صفقة. وخفض r إلى النصف يضاعف عدد الصفقات إلى 400. وهذه هي المقايضة الأولى: مخاطرة أقل تعني صفقات أكثر ووقتاً أطول وعمولات أكثر.

الخطوة 2: صيغة الجيب للنجاح

نمذج كل صفقة كخطوة قدرها +1 R باحتمال p و−1 R باحتمال q = 1 − p (نظام بنسبة عائد إلى مخاطرة 1:1؛ ويمكن تحويل النسب الأخرى تقريبياً باستخدام نسبة الفوز لنظام 1:1 مكافئ). ليكن a = T / r عدد الخطوات الرابحة المطلوبة وb = L / r عدد الخطوات الخاسرة التي تنهي المحاولة. تعطي النتيجة الكلاسيكية لمسألة "خراب المقامر" (gambler's ruin) احتمال بلوغ +a قبل −b:

P = (1 − (q/p)^b) / (1 − (q/p)^(a+b)) عندما p ≠ 0.5، وP = b / (a + b) عندما p = 0.5.

حالة انعدام الأفضلية هي الأكثر إفادة: مع T = 8 بالمئة وL = 10 بالمئة، ينجح متداول يرمي العملة في المرحلة 1 باحتمال 10 / 18 = 55.6 بالمئة، بغض النظر عن المخاطرة لكل صفقة. وتعطي مرحلة 2 بهدف 5 بالمئة وبالحد نفسه البالغ 10 بالمئة احتمالاً قدره 10 / 15 = 66.7 بالمئة. وللمرحلتين معاً: 0.556 × 0.667 = 37 بالمئة، أي إن نحو متداول واحد من كل ثلاثة متداولين لا يملكون أفضلية ينجح بالصدفة في هذا النموذج المبسّط. ولهذا فإن عبارة "لقد نجحت" لا تثبت إلا القليل، ولهذا يتناول الدرس 7 انحياز البقاء (survivorship).

الخطوة 3: المحاولات المتوقعة وتكلفتها

إذا نجحت كل محاولة باحتمال P، فإن العدد المتوقع للمحاولات هو 1 / P، والتكلفة المتوقعة للرسوم هي fee / P (الرسوم / P)، مع تجاهل الخصومات والمحاولات المجانية والوقت الذي تقضيه.

مثال محلول

مثال افتراضي: الرسوم €500، وهدف المرحلة 1 هو 8 بالمئة، وهدف المرحلة 2 هو 5 بالمئة، والحد الأقصى الثابت للخسارة 10 بالمئة في كل مرحلة، ونسبة عائد إلى مخاطرة 1:1، ولا يوجد حد خسارة يومية، ولا توجد تكاليف. نقارن بين ثلاثة متداولين وفق نسبة الفوز وإعدادَين للمخاطرة. جميع الأرقام مقرّبة.

الحساب عندما p = 0.52 وr = 1 بالمئة، المرحلة 1: q/p = 0.48 / 0.52 = 0.923؛ وa = 8 وb = 10. P = (1 − 0.923^10) / (1 − 0.923^18) = (1 − 0.449) / (1 − 0.237) = 0.551 / 0.763 = 72.2 بالمئة.

اقرأ الجدول في ثلاثة أسطر. مع انعدام الأفضلية، لا تغيّر المخاطرة لكل صفقة شيئاً؛ فالحظ هو الذي يقرر. ومع أفضلية موجبة، ترفع المخاطرة الأصغر احتمال النجاح لأن الصفقات الأكثر تتيح للأفضلية أن تظهر، على حساب صفقات أكثر ووقت أطول (عندما p = 0.52 وE = 0.04 R: 200 صفقة عند 1 بالمئة، و400 عند 0.5 بالمئة). ومع أفضلية سالبة، تجعل المخاطرة الأصغر الرسوب أكثر يقيناً، وتنفجر التكلفة المتوقعة. إن التقييم اختبار لما إذا كانت أفضليتك تصمد عبر صفقات كثيرة، والمخاطرة لكل صفقة لا تحدد إلا مدة الاختبار.

التقييمات الحقيقية أقسى من هذا النموذج: فحد الخسارة اليومية يقطع السلاسل، وفروق الأسعار والعمولات تخفض نسبة الفوز الفعلية، وقواعد الاتساق تضيف صفقات. تعامل مع النموذج على أنه حد أعلى لاحتمال نجاحك.

خطأ شائع

نشاط تطبيقي

على الورق: الرسوم €300، وتقييم بمرحلة واحدة بهدف 10 بالمئة وحد أقصى ثابت للخسارة 8 بالمئة. المتداول X لديه p = 0.50؛ والمتداول Y لديه p = 0.55 (نظام 1:1). كلاهما يخاطر بـ1 بالمئة لكل صفقة. احسب لكل منهما احتمال النجاح والعدد المتوقع للمحاولات والتكلفة المتوقعة للرسوم. استخدم 0.45 / 0.55 = 0.818، و0.818^8 = 0.200، و0.818^18 = 0.027.

أهم النقاط

• الصفقات المطلوبة ≈ الهدف / (المخاطرة لكل صفقة × التوقع الرياضي)؛ والمخاطرة الأقل تعني صفقات أكثر.
• تعطي صيغة "خراب المقامر" حداً أعلى سريعاً لاحتمال نجاحك.
• من دون أفضلية، لا تغيّر المخاطرة لكل صفقة الاحتمالات؛ ومع وجود أفضلية، تساعد المخاطرة الأصغر.
• التكلفة المتوقعة للمحاولات = الرسوم / احتمال النجاح؛ احسبها قبل الشراء.

الخطوة التالية

النجاح ليس سوى البداية؛ يقارن الدرس التالي ما تحصل عليه فعلاً بعد ذلك: تقسيم الأرباح، وقواعد الدفعة الأولى، والهوامش الاحتياطية، والسقوف، وردّ الرسوم، وخطط التوسيع.