المدة والتحدّب: قياس الحساسية لأسعار الفائدة
احسب مدة ماكولاي والمدة المعدّلة، واستخدم التحدّب لتحسين التقدير، وقدّر حجم مخاطر أسعار الفائدة باليورو.
ما الذي ستتعلمه
- ما الذي تقيسه مدة ماكولاي والمدة المعدّلة، وكيف تحسبهما.
- كيف تحوّل المدة إلى تقدير باليورو لمخاطر السعر، بما في ذلك DV01.
- لماذا يجعل التحدّب تقدير المدة البسيط غير دقيق قليلًا، وكيف تصحّحه.
- أي خصائص السند تزيد الحساسية لأسعار الفائدة أو تقللها.
الشرح
قدّمت دورة صناديق ETF (درس «صناديق ETF للسندات وصناديق سوق النقد») مخاطر أسعار الفائدة. ويمنحك هذا الدرس الأدوات اللازمة لقياسها.
مدة ماكولاي
مدة ماكولاي هي متوسط الزمن المرجّح، بالسنوات، حتى تتسلّم التدفقات النقدية للسند. وتُرجَّح كل سنة بحصة سعر السند الآتية من التدفق النقدي لتلك السنة (قيمته الحالية مقسومة على السعر):
Macaulay duration = Σ [ t × PV(CF(t)) ] ÷ Price
(أي: مدة ماكولاي = مجموع [الزمن × القيمة الحالية للتدفق النقدي في السنة t] ÷ السعر.) السند الصفري القسيمة (سند بلا قسائم يدفع القيمة الاسمية فقط عند الاستحقاق) تساوي مدة ماكولاي له أجلَ استحقاقه. أما أي سند ذي قسيمة فمدته أقصر من أجل استحقاقه، لأن جزءًا من المال يصل في وقت أبكر.
المدة المعدّلة وDV01
تحوّل المدة المعدّلة مقياس الزمن هذا إلى حساسية للسعر:
Modified duration = Macaulay duration ÷ (1 + y) (أي: المدة المعدّلة = مدة ماكولاي ÷ (1 + y)، للقسائم السنوية)
وهي تخبرك بالتغير التقريبي في السعر بالنسبة المئوية مقابل تغير قدره نقطة مئوية واحدة في العائد:
%ΔPrice ≈ − Modified duration × Δy
ويستخدم المتداولون أيضًا DV01 («القيمة الدولارية لنقطة أساس واحدة»؛ وفي أسواق اليورو تُسمى الفكرة نفسها PVBP، أي قيمة السعر لنقطة أساس). نقطة الأساس (bp) الواحدة تساوي 0.01 نقطة مئوية. DV01 = المدة المعدّلة × السعر × 0.0001.
التحدّب
العلاقة الحقيقية بين السعر والعائد منحنى، لا خط مستقيم. والتحدّب يقيس هذا الانحناء. وهو موجب في السندات العادية (غير القابلة للاستدعاء)، ما يعني أن الأسعار ترتفع عند انخفاض العوائد أكثر قليلًا مما تنخفض عند ارتفاع العوائد بالمقدار نفسه. والتقدير المحسَّن هو:
%ΔPrice ≈ − D_mod × Δy + ½ × Convexity × (Δy)²
(حيث D_mod هي المدة المعدّلة وConvexity هو التحدّب.) في تغيرات العائد الصغيرة يكون حدّ التحدّب ضئيلًا جدًا؛ أما في التحركات الكبيرة فيصبح مهمًا.
قواعد تقريبية
- أجل استحقاق أطول ← مدة أعلى.
- قسيمة أدنى ← مدة أعلى (يأتي جزء أكبر من القيمة في النهاية).
- مستوى عائد أدنى ← مدة أعلى.
- مدة المحفظة ≈ المتوسط المرجّح بالقيمة للمدد المنفردة.
- السندات القابلة للاستدعاء (التي يجوز للجهة المُصدِرة سدادها مبكرًا) قد يكون تحدّبها سالبًا: إذ تكون مكاسبها محدودة عند انخفاض العوائد.
مثال محلول
مثال افتراضي: السند ذو الأجل 5 سنوات والقسيمة السنوية 3% من الدرس 1، قيمته الاسمية €1,000، ومسعَّر عند €955.48 ليحقق عائدًا قدره 4%. الرسوم وفروق الأسعار والضرائب مستبعدة.
| السنة t | التدفق النقدي | القيمة الحالية | الوزن (القيمة الحالية ÷ السعر) | t × الوزن |
|---|---|---|---|---|
| 1 | €30 | €28.85 | 0.0302 | 0.0302 |
| 2 | €30 | €27.74 | 0.0290 | 0.0581 |
| 3 | €30 | €26.67 | 0.0279 | 0.0837 |
| 4 | €30 | €25.64 | 0.0268 | 0.1074 |
| 5 | €1,030 | €846.58 | 0.8860 | 4.4301 |
| مدة ماكولاي | 4.71 سنة |
- المدة المعدّلة = 4.71 ÷ 1.04 = 4.53.
- DV01 = 4.53 × €955.48 × 0.0001 ≈ €0.43 لكل €1,000 من القيمة الاسمية لكل نقطة أساس.
- التحدّب (محسوبًا من التدفقات النقدية نفسها) ≈ 25.6.
لنفترض الآن أن العوائد قفزت بمقدار +1 نقطة مئوية (Δy = 0.01) ثم انخفضت بمقدار −1 نقطة.
| تغير العائد | المدة وحدها | المدة + التحدّب | إعادة التسعير الدقيقة |
|---|---|---|---|
| +1 نقطة (إلى 5%) | −4.53% | −4.53% + 0.13% = −4.40% | €913.41 (−4.40%) |
| −1 نقطة (إلى 3%) | +4.53% | +4.53% + 0.13% = +4.66% | €1,000.00 (+4.66%) |
حدّ التحدّب هو ½ × 25.6 × 0.0001 = 0.13%. وبإضافته يطابق التقدير السعر الدقيق تطابقًا شبه تام. لاحظ عدم التماثل: المكسب (+€44.52) أكبر من الخسارة (−€42.07).
خطأ شائع
نشاط تطبيقي
على الورق: تحتفظ بمحفظة افتراضية فيها €6,000 في صندوق سندات مدته المعدّلة 2.0 و€4,000 في سند طويل الأجل مدته المعدّلة 8.0. (أ) ما مدة المحفظة؟ (ب) قدّر التغير باليورو إذا ارتفعت جميع العوائد بمقدار 0.5 نقطة مئوية. (ج) ما المدة المعدّلة لسند صفري القسيمة لأجل 10 سنوات عائده 3%؟
عرض الحل
(أ) (6,000 × 2.0 + 4,000 × 8.0) ÷ 10,000 = (12,000 + 32,000) ÷ 10,000 = 4.4.
(ب) −4.4 × 0.005 = −2.2% من €10,000 ≈ −€220 (سيجعل التحدّب الخسارة أصغر قليلًا).
(ج) مدة ماكولاي = 10 سنوات؛ المدة المعدّلة = 10 ÷ 1.03 ≈ 9.71. ارتفاع العائد بنقطة واحدة يكلّف نحو 9.7%.
القيود: يفترض هذا تحولًا متوازيًا (تتحرك جميع العوائد بالمقدار نفسه). وفي الواقع كثيرًا ما تتحرك العوائد القصيرة والطويلة الأجل بشكل مختلف، وقد تتغير فروق الائتمان أيضًا.
أهم النقاط
- المدة المعدّلة ≈ التغير في السعر بالنسبة المئوية مقابل تغير العائد بنقطة واحدة؛ اضربها في مركزك لتحصل على المبلغ باليورو.
- يعطي DV01 التغير باليورو لكل نقطة أساس، وهو مفيد للمقارنة بين المراكز.
- يحسّن التحدّب التقدير ويجعل المكاسب أكبر من الخسائر عند تحركات متساوية في العائد.
- الآجال الطويلة والقسائم المنخفضة والعوائد المنخفضة تعني مخاطر أعلى لأسعار الفائدة.
الخطوة التالية
في الدرس التالي سترى كيف تختلف العوائد باختلاف آجال الاستحقاق، وما الذي يمكن أن يخبرك به شكل منحنى العائد وما لا يمكنه.
تقييم ذاتي
أجب عن الأسئلة، ثم تحقّق من إجاباتك. يمكنك إعادة المحاولة بقدر ما تشاء.
تقييم ذاتي تلقائي لمراجعتك الشخصية. تُفحَص إجاباتك في متصفحك ولا نطّلع عليها ولا نقيّمها. هذا ليس امتحانًا ولا مؤهّلًا.
تقدّمك
«مكتمل» يعني فقط أنك علّمت الدرس كمنتهٍ. وهو ليس اختبارًا لفهمك. يُحفظ التقدّم والملاحظات فقط في هذا المتصفح على هذا الجهاز — وليس في حساب.