用代码计算收益率：简单收益率与对数收益率、累计收益率、年化收益率与波动率，以及滚动窗口

你将学到什么

• 如何从收盘价序列计算简单收益率和对数收益率，以及各自在什么情况下才是合适的工具。
• 为什么简单收益率必须用连乘来复利，而对数收益率只需简单相加。
• 如何将日均收益率和日标准差年化，以及“时间平方根”规则隐含了哪些假设。
• 滚动窗口如何生成随时间变化的统计量（例如 20 日波动率），以及为什么最前面的几行是空的。

讲解

简单收益率是价格的百分比变化，rt = (Pt − Pt−1) ÷ Pt−1，在 pandas 中写作 r = df["close"].pct_change()。对数收益率是价格比值的自然对数，ℓt = ln(Pt ÷ Pt−1)，在代码中写作 np.log(df["close"]).diff()。两者的第一个值都是 NaN。对于小幅变动，两者几乎相同；对于大幅变动，两者会出现分歧（−50% 的简单收益率对应 −69.3% 的对数收益率）。

复利。跨越多个期间时，简单收益率是相乘的：总收益率 = (1 + r1)(1 + r2)…(1 + rn) − 1。对数收益率是相加的：总对数收益率 = ℓ1 + ℓ2 + … + ℓn，再转换回来得到总简单收益率 = exp(总和) − 1。把简单收益率相加是错误的，而且误差会随波动率增大：+10% 之后再 −10%，相加为 0%，实际结果却是 −1%。累计收益率序列为 (1 + r).cumprod() − 1；从 €10,000 起步的资金曲线为 10_000 * (1 + r).cumprod()；使用对数收益率时则为 np.exp(lr.cumsum())。

何时用哪一种。在跨时间汇总和做统计时使用对数收益率；凡是涉及资金往来或组合多项资产时，使用简单收益率，因为投资组合收益率是各项简单收益率的加权和。向人汇报时请使用简单百分比。

年化。惯例上假设股票每年有 252 个交易日（实际天数因交易所和年份而略有不同；请注明你采用的惯例）。日均收益率 × 252 是算术年化收益率，而 CAGR（compound annual growth rate，复合年增长率，已在课程《系统化交易与回测》中定义）为 (期末值 ÷ 期初值)1 ÷ 年数 − 1，这才是回测应当报告的指标。波动率是收益率的标准差；它随时间的平方根缩放，因此年化波动率 ≈ 日标准差 × √252 ≈ 日标准差 × 15.87。月度数据使用 12 和 √12，周度数据使用 52 和 √52。平方根规则假设收益率相互独立，而有趋势的序列违反了这一点；请把它视为一种惯例。

滚动窗口。r.rolling(20).std() * np.sqrt(252) 给出最近 20 天的年化波动率，并在每一行重新计算。前 19 行是 NaN，因为窗口还没有填满（min_periods 可以放宽这一限制）。expanding() 使用截至每一行的全部数据（第 9 课计算回撤时用到的资金运行最大值）。两者都只向后看，因此从构造上就不存在前视偏差。

实例演算

假设示例：一只股票的四个收盘价为 €100.00、€105.00、€100.80、€105.84；不计成本、股息和税费。

简单收益率：(105 − 100) ÷ 100 = +5.00%；(100.80 − 105) ÷ 105 = −4.00%；(105.84 − 100.80) ÷ 100.80 = +5.00%。

对数收益率：ln(1.05) = 0.04879；ln(0.96) = −0.04082；ln(1.05) = 0.04879。总和 = 0.05676。exp(0.05676) − 1 = 0.0584，即 +5.84%。

验证：1.05 × 0.96 × 1.05 = 1.0584 → +5.84%，且 105.84 ÷ 100 − 1 = 5.84%。把简单收益率相加会得到 6.00%，三天就高估了 0.16 个百分点：€10,000 变成 €10,584，而不是 €10,600。

代码：r = c.pct_change(); total = (1 + r.dropna()).prod() - 1 返回 0.0584。r.rolling(3).mean() 在最后一行给出 (0.05 − 0.04 + 0.05) ÷ 3 = 2.00%，之前各行为 NaN。

对一个假设的更长样本进行年化：如果日收益率均值为 0.04%、标准差为 1.2%，则算术年化收益率为 0.0004 × 252 = 10.08%，年化波动率为 0.012 × 15.87 = 19.05%。

常见错误

练习活动

在纸上完成：收盘价为 €50.00、€48.00、€50.40、€49.392（假设数据）。(a) 计算三个简单收益率。(b) 利用 ln(0.96) = −0.04082、ln(1.05) = 0.04879 和 ln(0.98) = −0.02020 计算三个对数收益率。(c) 分别通过复利和对数求和给出总收益率，并与简单收益率的直接相加结果进行比较。(d) 如果另一个序列的日标准差为 1.5%，按 252 天给出其年化波动率，并解释为什么乘以 252 是错误的。

要点回顾

• pct_change() 给出简单收益率，np.log(c).diff() 给出对数收益率；两者都会在第一行留下 NaN。
• 用连乘对简单收益率复利；把对数收益率相加后再取指数；永远不要把简单收益率相加。
• 均值年化用 × 252，标准差年化用 × √252，注明所用惯例，并为回测报告 CAGR。
• 滚动窗口和扩展窗口都只向后看，在窗口填满之前输出 NaN，并默认使用样本标准差。

下一步

第 6 课把标准指标（SMA、EMA、RSI、ATR 和布林带）写成向量化函数，并演示如何对照图表平台进行验证。