Las matemáticas de aprobar: riesgo por operación, operaciones necesarias, probabilidad de aprobar y coste esperado de los intentos

Qué vas a aprender

• Cómo estimar el número de operaciones que requerirá una evaluación a partir de tu esperanza matemática y tu riesgo por operación.
• Una fórmula de bolsillo para la probabilidad de alcanzar el objetivo antes que el límite de pérdidas.
• Por qué un riesgo por operación menor ayuda a un trader con ventaja y no sirve de nada a un trader sin ella.
• Cómo convertir la probabilidad de aprobar en un coste total esperado de los intentos.

Explicación

Los múltiplos de R, la tasa de acierto y la esperanza matemática se trataron en el curso Gestión del riesgo y de las operaciones. Aquí los aplicamos a una pregunta concreta: ¿qué probabilidad hay de alcanzar un objetivo de beneficio T antes de tocar un límite de pérdidas L si cada operación arriesga un r por ciento de la cuenta?

Paso 1: operaciones necesarias

Si tu esperanza es E en múltiplos de R por operación (por ejemplo, 0.04 R), la ganancia esperada por operación es r × E por ciento de la cuenta. Las operaciones necesarias para alcanzar el objetivo son aproximadamente T / (r × E). Con T = 8 por ciento, r = 1 por ciento y E = 0.04 R: 8 / (1 × 0.04) = 200 operaciones. Reducir r a la mitad duplica el número de operaciones hasta 400. Esta es la primera disyuntiva: menos riesgo significa más operaciones, más tiempo y más comisiones.

Paso 2: la fórmula de bolsillo para aprobar

Modela cada operación como un paso de +1 R con probabilidad p y de −1 R con probabilidad q = 1 − p (un sistema con relación beneficio-riesgo 1:1; otras relaciones pueden convertirse de forma aproximada usando la tasa de acierto de un sistema 1:1 equivalente). Sea a = T / r el número de pasos ganadores necesarios y b = L / r el número de pasos perdedores que ponen fin al intento. El resultado clásico de la ruina del jugador da la probabilidad de llegar a +a antes que a −b:

P = (1 − (q/p)^b) / (1 − (q/p)^(a+b)) para p ≠ 0.5, y P = b / (a + b) para p = 0.5.

El caso sin ventaja es el más instructivo: con T = 8 por ciento y L = 10 por ciento, un trader que opera a cara o cruz aprueba la fase 1 con una probabilidad de 10 / 18 = 55.6 por ciento, sea cual sea su riesgo por operación. Una fase 2 del 5 por ciento con el mismo límite del 10 por ciento da 10 / 15 = 66.7 por ciento. Ambas fases: 0.556 × 0.667 = 37 por ciento, así que, en este modelo simplificado, aproximadamente uno de cada tres traders sin ventaja aprueba por azar. Por eso «he aprobado» demuestra poco, y por eso la lección 7 analiza el sesgo de supervivencia.

Paso 3: intentos y coste esperados

Si cada intento aprueba con probabilidad P, el número esperado de intentos es 1 / P y el coste esperado en tarifas es tarifa / P, sin contar descuentos, reintentos gratuitos ni el tiempo que inviertes.

Ejemplo práctico

Ejemplo hipotético: tarifa de €500, objetivo de la fase 1 del 8 por ciento, objetivo de la fase 2 del 5 por ciento, pérdida máxima estática del 10 por ciento en cada fase, relación beneficio-riesgo 1:1, sin límite de pérdida diaria, sin costes. Comparamos tres traders según su tasa de acierto y dos niveles de riesgo. Todas las cifras están redondeadas.

Cálculo para p = 0.52, r = 1 por ciento, fase 1: q/p = 0.48 / 0.52 = 0.923; a = 8, b = 10. P = (1 − 0.923^10) / (1 − 0.923^18) = (1 − 0.449) / (1 − 0.237) = 0.551 / 0.763 = 72.2 por ciento.

Lee la tabla en tres líneas. Sin ventaja, el riesgo por operación no cambia nada; decide la suerte. Con una ventaja positiva, un riesgo menor eleva la probabilidad de aprobar porque más operaciones permiten que la ventaja se manifieste, a costa de más operaciones y más tiempo (para p = 0.52, E = 0.04 R: 200 operaciones al 1 por ciento, 400 al 0.5 por ciento). Con una ventaja negativa, un riesgo menor hace el suspenso más seguro, y el coste esperado se dispara. La evaluación es una prueba de si tu ventaja sobrevive a muchas operaciones, y el riesgo por operación solo determina cuánto dura la prueba.

Las evaluaciones reales son más duras que este modelo: un límite de pérdida diaria corta las rachas, los spreads y las comisiones reducen la tasa de acierto efectiva, y las reglas de consistencia añaden operaciones. Trata el modelo como un límite superior de tu probabilidad de aprobar.

Error habitual

Actividad práctica

En papel: tarifa de €300, evaluación de una fase con un objetivo del 10 por ciento y una pérdida máxima estática del 8 por ciento. El trader X tiene p = 0.50; el trader Y tiene p = 0.55 (sistema 1:1). Ambos arriesgan el 1 por ciento por operación. Calcula para cada uno la probabilidad de aprobar, el número esperado de intentos y el coste esperado en tarifas. Usa 0.45 / 0.55 = 0.818, 0.818^8 = 0.200 y 0.818^18 = 0.027.

Ideas clave

• Operaciones necesarias ≈ objetivo / (riesgo por operación × esperanza); menos riesgo significa más operaciones.
• La fórmula de la ruina del jugador da un límite superior rápido de tu probabilidad de aprobar.
• Sin ventaja, el riesgo por operación no cambia las probabilidades; con ventaja, un riesgo menor ayuda.
• Coste esperado de los intentos = tarifa / probabilidad de aprobar; calcúlalo antes de comprar.

Siguiente paso

Aprobar es solo el principio; la próxima lección compara lo que realmente recibes después: repartos de beneficios, reglas del primer pago, colchones, topes, reembolsos y planes de escalado.