Duración y convexidad: cómo medir la sensibilidad a los tipos de interés
Calcula la duración de Macaulay y la duración modificada, usa la convexidad para afinar la estimación y cuantifica en euros el riesgo de tipos de interés.
Qué vas a aprender
- Qué miden la duración de Macaulay y la duración modificada, y cómo calcularlas.
- Cómo convertir la duración en una estimación en euros del riesgo de precio, incluido el DV01.
- Por qué la convexidad hace que la estimación simple basada en la duración sea ligeramente incorrecta, y cómo corregirla.
- Qué características de un bono aumentan o reducen la sensibilidad a los tipos de interés.
Explicación
El curso «ETF, fondos e inversión a largo plazo» (lección «ETF de bonos y fondos del mercado monetario») presentó el riesgo de tipos de interés. Esta lección te da las herramientas para medirlo.
Duración de Macaulay
La duración de Macaulay es el tiempo medio ponderado, en años, hasta que recibes los flujos de caja de un bono. Cada año se pondera por la parte del precio del bono que procede del flujo de caja de ese año (su valor actual dividido por el precio):
Macaulay duration = Σ [ t × PV(CF(t)) ] ÷ Price
Un bono cupón cero (un bono sin cupones que solo paga el valor nominal al vencimiento) tiene una duración de Macaulay igual a su vencimiento. Cualquier bono con cupón tiene una duración inferior a su vencimiento, porque parte del dinero llega antes.
Duración modificada y DV01
La duración modificada convierte esta medida de tiempo en sensibilidad del precio:
Modified duration = Macaulay duration ÷ (1 + y) (para cupones anuales)
Indica la variación porcentual aproximada del precio ante un cambio de 1 punto porcentual en el rendimiento:
%ΔPrice ≈ − Modified duration × Δy
Los traders también usan el DV01 («dollar value of one basis point», valor en dólares de un punto básico; en los mercados del euro la misma idea se llama PVBP, price value of a basis point). Un punto básico (pb, bp) equivale a 0.01 puntos porcentuales. DV01 = duración modificada × precio × 0.0001.
Convexidad
La relación real entre precio y rendimiento es una curva, no una línea recta. La convexidad mide esa curvatura. En los bonos normales (no amortizables anticipadamente) es positiva, lo que significa que los precios suben un poco más cuando los rendimientos bajan de lo que caen cuando los rendimientos suben en la misma cuantía. La estimación mejorada es:
%ΔPrice ≈ − D_mod × Δy + ½ × Convexity × (Δy)²
Con cambios pequeños de rendimiento, el término de convexidad es mínimo; con movimientos grandes, importa.
Reglas prácticas
- Vencimiento más largo → mayor duración.
- Cupón más bajo → mayor duración (una parte mayor del valor llega al final).
- Nivel de rendimiento más bajo → mayor duración.
- Duración de la cartera ≈ la media de las duraciones individuales ponderada por su valor.
- Los bonos amortizables anticipadamente (callable, que el emisor puede devolver antes) pueden tener convexidad negativa: su potencial alcista queda limitado cuando bajan los rendimientos.
Ejemplo práctico
Ejemplo hipotético: el bono a 5 años con cupón anual del 3% de la lección 1, valor nominal €1,000, con un precio de €955.48 para un rendimiento del 4%. Se excluyen comisiones, diferenciales e impuestos.
| Año t | Flujo de caja | Valor actual | Peso (VA ÷ precio) | t × peso |
|---|---|---|---|---|
| 1 | €30 | €28.85 | 0.0302 | 0.0302 |
| 2 | €30 | €27.74 | 0.0290 | 0.0581 |
| 3 | €30 | €26.67 | 0.0279 | 0.0837 |
| 4 | €30 | €25.64 | 0.0268 | 0.1074 |
| 5 | €1,030 | €846.58 | 0.8860 | 4.4301 |
| Duración de Macaulay | 4.71 años |
- Duración modificada = 4.71 ÷ 1.04 = 4.53.
- DV01 = 4.53 × €955.48 × 0.0001 ≈ €0.43 por cada €1,000 de valor nominal y por punto básico.
- Convexidad (calculada a partir de los mismos flujos de caja) ≈ 25.6.
Ahora supongamos que los rendimientos suben de golpe +1 punto porcentual (Δy = 0.01) y que bajan −1 punto.
| Cambio de rendimiento | Solo duración | Duración + convexidad | Revaloración exacta |
|---|---|---|---|
| +1 punto (al 5%) | −4.53% | −4.53% + 0.13% = −4.40% | €913.41 (−4.40%) |
| −1 punto (al 3%) | +4.53% | +4.53% + 0.13% = +4.66% | €1,000.00 (+4.66%) |
El término de convexidad es ½ × 25.6 × 0.0001 = 0.13%. Con él, la estimación coincide casi perfectamente con el precio exacto. Fíjate en la asimetría: la ganancia (+€44.52) es mayor que la pérdida (−€42.07).
Error habitual
Actividad práctica
En papel: tienes una cartera hipotética con €6,000 en un fondo de bonos con duración modificada de 2.0 y €4,000 en un bono largo con duración modificada de 8.0. (a) ¿Cuál es la duración de la cartera? (b) Estima la variación en euros si todos los rendimientos suben 0.5 puntos porcentuales. (c) ¿Cuál es la duración modificada de un bono cupón cero a 10 años con un rendimiento del 3%?
Mostrar solución
(a) (6,000 × 2.0 + 4,000 × 8.0) ÷ 10,000 = (12,000 + 32,000) ÷ 10,000 = 4.4.
(b) −4.4 × 0.005 = −2.2% de €10,000 ≈ −€220 (la convexidad haría que la pérdida fuera ligeramente menor).
(c) Duración de Macaulay = 10 años; duración modificada = 10 ÷ 1.03 ≈ 9.71. Una subida de 1 punto en el rendimiento cuesta aproximadamente un 9.7%.
Limitaciones: esto supone un desplazamiento paralelo (todos los rendimientos se mueven en la misma cuantía). En la realidad, los rendimientos cortos y largos a menudo se mueven de forma distinta, y los diferenciales de crédito también pueden cambiar.
Ideas clave
- Duración modificada ≈ variación porcentual del precio ante un cambio de 1 punto en el rendimiento; multiplícala por tu posición para obtener euros.
- El DV01 da la variación en euros por punto básico y es útil para comparar posiciones.
- La convexidad mejora la estimación y hace que las ganancias sean mayores que las pérdidas ante movimientos de rendimiento iguales.
- Vencimientos largos, cupones bajos y rendimientos bajos implican un mayor riesgo de tipos de interés.
Siguiente paso
En la próxima lección verás cómo difieren los rendimientos según el vencimiento y qué puede y qué no puede decirte la forma de la curva de tipos.
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