Cupón, precio y rendimiento al vencimiento en profundidad

Qué vas a aprender

• Cómo se calcula el precio de un bono como el valor actual de sus flujos de caja futuros.
• La diferencia entre el tipo del cupón, el rendimiento corriente y el rendimiento al vencimiento (YTM, yield to maturity).
• Por qué los bonos cotizan con prima o con descuento, y qué significa la «convergencia a la par» (pull to par).
• Cómo estimar a mano un rendimiento al vencimiento y comprobarlo.

Explicación

La relación inversa entre los precios y los rendimientos de los bonos se presentó en el curso de macro (lección «Bonos y rendimientos explicados de forma sencilla»). Aquí profundizamos un nivel más y la calculamos.

Un bono es un préstamo que concedes a un emisor. El emisor promete pagos fijos: un cupón (el interés anual, expresado como porcentaje del valor nominal) y el valor nominal (también llamado valor a la par, el importe que se devuelve al vencimiento, la fecha del reembolso final). Los bonos federales alemanes y la mayoría de los bonos en euros pagan el cupón una vez al año; las notas y los bonos del Tesoro de EE. UU. pagan la mitad del cupón cada seis meses.

Los precios se cotizan como porcentaje del valor nominal. Un precio de 96.50 significa €965 por cada €1,000 de valor nominal.

La fórmula del precio

El precio justo es la suma de todos los flujos de caja futuros, cada uno descontado al rendimiento de mercado y:

Price = C/(1+y) + C/(1+y)^2 + … + (C+F)/(1+y)^n

Aquí C es el cupón en euros, F el valor nominal y n el número de años. Descontar significa dividir por (1+y) una vez por cada año que tienes que esperar, porque el dinero que se recibe más tarde vale menos hoy.

Tres «rendimientos» distintos

• Tipo del cupón: se fija en la emisión. Nunca cambia y no dice nada sobre la rentabilidad actual.
• Rendimiento corriente: cupón ÷ precio. Ignora la ganancia o la pérdida al vencimiento.
• Rendimiento al vencimiento (YTM): el único tipo de descuento que hace que la fórmula anterior sea igual al precio de mercado. Es la rentabilidad anual que obtienes si compras ahora, mantienes hasta el vencimiento, el emisor lo paga todo puntualmente y cada cupón se reinvierte al mismo YTM.

Esa última condición, el supuesto de reinversión, suele olvidarse. Si los tipos bajan, los cupones se reinvierten a tipos más bajos y la rentabilidad obtenida acaba ligeramente por debajo del YTM.

Prima, descuento y convergencia a la par

• Tipo del cupón inferior al rendimiento de mercado → precio inferior a 100 (bono con descuento).
• Tipo del cupón superior al rendimiento de mercado → precio superior a 100 (bono con prima).
• Tipo del cupón igual al rendimiento de mercado → precio de 100 (a la par).

Como el emisor devuelve exactamente 100 al vencimiento, el precio se mueve hacia 100 a medida que se acerca el vencimiento, aunque los rendimientos no cambien. Esto se llama convergencia a la par (pull to par).

Los precios en bolsa suelen ser precios limpios (sin intereses devengados). Los intereses acumulados desde el último cupón se suman cuando compras; la lección 8 lo trata en detalle.

Ejemplo práctico

Ejemplo hipotético: un bono a 5 años, valor nominal €1,000, cupón del 3% (€30 al año, pagado anualmente). El rendimiento de mercado de bonos similares es del 4%. Suponemos que la compra se realiza en una fecha de cupón (sin intereses devengados) e ignoramos comisiones, diferenciales e impuestos.

Rendimiento corriente = €30 ÷ €955.48 = 3.14%. El YTM es del 4%, superior al rendimiento corriente, porque el comprador también gana €44.52 cuando el bono se reembolsa a €1,000.

Convergencia a la par: si el rendimiento de mercado sigue siendo del 4% un año después, el mismo bono (al que ahora le quedan 4 años) vale €963.70. El precio ha subido €8.22 sin ningún cambio en los rendimientos.

Estimar un YTM. Un segundo bono: le quedan 4 años, cupón del 2.5% (€25), precio €965. Una aproximación habitual es:

YTM ≈ (C + (F − P)/n) ÷ ((F + P)/2)

= (€25 + €35/4) ÷ €982.50 = €33.75 ÷ €982.50 ≈ 3.44%. Resolver la fórmula completa por prueba y error (o con una función de hoja de cálculo como TASA/RATE o RENDTO/YIELD) da 3.45%. El atajo es bastante preciso con descuentos pequeños y vencimientos cortos, pero pierde precisión con bonos largos o con mucho descuento.

Error habitual

Actividad práctica

En papel: (a) Calcula el precio de un bono hipotético a 3 años, valor nominal €1,000, cupón anual del 2%, rendimiento de mercado del 3%. (b) Estima el YTM de un bono hipotético a 4 años, cupón del 5%, precio €1,040, usando la fórmula de aproximación. Ignora comisiones e impuestos.

Ideas clave

• El precio de un bono es el valor actual de sus cupones y de su valor nominal, descontados al rendimiento de mercado.
• Compara los bonos por su rendimiento al vencimiento, no por el cupón ni por el rendimiento corriente.
• A medida que se acerca el vencimiento, los bonos con descuento suben hacia la par y los bonos con prima bajan hacia la par.
• El YTM solo se cumple si el emisor paga, mantienes hasta el vencimiento y los cupones se reinvierten al mismo tipo.

Siguiente paso

En la próxima lección medirás con qué intensidad reacciona el precio de un bono cuando cambian los rendimientos, usando la duración y la convexidad.